Resolver {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=6$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+2 na outra ecuación, 2x+\frac{1}{3}y=8.

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

Multiplica 2 por \frac{y}{3}+2.

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

Suma \frac{2y}{3} a \frac{y}{3}.

$$y+4=8$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{1}{3}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Suma 2 a \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

Simplifica.

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

Resta 6x+y=24 de 6x-2y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-y=12-24$$

Suma -2y a -y.

$$-3y=12-24$$

Suma 12 a -24.

$$-3y=-12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 2x+\frac{1}{3}y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4.

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{20}{3}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$