Resolver {l}{3x-y=4}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 4 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=4,x-y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+4.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{4+y}{3} na outra ecuación, x-y=1.

$$\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}-y=1$$

Suma \frac{y}{3} a -y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}=1$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{1}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{4}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por \frac{1}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{6}+\frac{4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a \frac{1}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=4,x-y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=4,x-y=1$$

Resta x-y=1 de 3x-y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-x-y+y=4-1$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-x=4-1$$

Suma 3x a -x.

$$2x=4-1$$

Suma 4 a -1.

$$2x=3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3}{2} en x-y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$\frac{3}{2}-y=1$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-y=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$