Resolver {l}{3x-84y=271}{504x-22y=524}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 84 y = 271 } \\ { 504 x - 22 y = 524 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{19027}{21135}\approx 0.900260232$$

$$y = -\frac{22502}{7045} = -3\frac{1367}{7045} \approx -3.194038325$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-84y=271,504x-22y=524$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-84y=271$$

Suma 84y en ambos lados da ecuación.

$$3x=84y+271$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(84y+271\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 84y+271.

$$x=28y+\frac{271}{3}$$

Substitúe x por 28y+\frac{271}{3} na outra ecuación, 504x-22y=524.

$$504\left(28y+\frac{271}{3}\right)-22y=524$$

Multiplica 504 por 28y+\frac{271}{3}.

$$14112y+45528-22y=524$$

Suma 14112y a -22y.

$$14090y+45528=524$$

Resta 45528 en ambos lados da ecuación.

$$14090y=-45004$$

Divide ambos lados entre 14090.

$$y=-\frac{22502}{7045}$$

Substitúe y por -\frac{22502}{7045} en x=28y+\frac{271}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=28\left(-\frac{22502}{7045}\right)+\frac{271}{3}$$

Multiplica 28 por -\frac{22502}{7045}.

$$x=-\frac{630056}{7045}+\frac{271}{3}$$

Suma \frac{271}{3} a -\frac{630056}{7045} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{19027}{21135}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19027}{21135},y=-\frac{22502}{7045}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-84y=271,504x-22y=524$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}&-\frac{-84}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}\\-\frac{504}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}&\frac{3}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{21135}&\frac{14}{7045}\\-\frac{84}{7045}&\frac{1}{14090}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{21135}\times 271+\frac{14}{7045}\times 524\\-\frac{84}{7045}\times 271+\frac{1}{14090}\times 524\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19027}{21135}\\-\frac{22502}{7045}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{19027}{21135},y=-\frac{22502}{7045}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-84y=271,504x-22y=524$$

Para que 3x e 504x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 504 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$504\times 3x+504\left(-84\right)y=504\times 271,3\times 504x+3\left(-22\right)y=3\times 524$$

Simplifica.

$$1512x-42336y=136584,1512x-66y=1572$$

Resta 1512x-66y=1572 de 1512x-42336y=136584 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$1512x-1512x-42336y+66y=136584-1572$$

Suma 1512x a -1512x. 1512x e -1512x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-42336y+66y=136584-1572$$

Suma -42336y a 66y.

$$-42270y=136584-1572$$

Suma 136584 a -1572.

$$-42270y=135012$$

Divide ambos lados entre -42270.

$$y=-\frac{22502}{7045}$$

Substitúe y por -\frac{22502}{7045} en 504x-22y=524. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$504x-22\left(-\frac{22502}{7045}\right)=524$$

Multiplica -22 por -\frac{22502}{7045}.

$$504x+\frac{495044}{7045}=524$$

Resta \frac{495044}{7045} en ambos lados da ecuación.

$$504x=\frac{3196536}{7045}$$

Divide ambos lados entre 504.

$$x=\frac{19027}{21135}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19027}{21135},y=-\frac{22502}{7045}$$