Resolver {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-8y=9$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$3x=8y+9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 8y+9.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

Substitúe x por \frac{8y}{3}+3 na outra ecuación, 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

Multiplica 4 por \frac{8y}{3}+3.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

Suma \frac{32y}{3} a 3y.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{41}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{66}{41}$$

Substitúe y por -\frac{66}{41} en x=\frac{8}{3}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

Multiplica \frac{8}{3} por -\frac{66}{41} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

Suma 3 a -\frac{176}{41}.

$$x=-\frac{53}{41}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

Simplifica.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

Resta 12x+9y=-30 de 12x-32y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-32y-9y=36+30$$

Suma -32y a -9y.

$$-41y=36+30$$

Suma 36 a 30.

$$-41y=66$$

Divide ambos lados entre -41.

$$y=-\frac{66}{41}$$

Substitúe y por -\frac{66}{41} en 4x+3y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

Multiplica 3 por -\frac{66}{41}.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

Suma \frac{198}{41} en ambos lados da ecuación.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-\frac{53}{41}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$