Resolver {l}{3x-7y=24}{6x+3y=99}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 24 } \\ { 6 x + 3 y = 99 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=15$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-7y=24$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$3x=7y+24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+24\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 7y+24.

$$x=\frac{7}{3}y+8$$

Substitúe x por \frac{7y}{3}+8 na outra ecuación, 6x+3y=99.

$$6\left(\frac{7}{3}y+8\right)+3y=99$$

Multiplica 6 por \frac{7y}{3}+8.

$$14y+48+3y=99$$

Suma 14y a 3y.

$$17y+48=99$$

Resta 48 en ambos lados da ecuación.

$$17y=51$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{7}{3}y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{3}\times 3+8$$

Multiplica \frac{7}{3} por 3.

$$x=7+8$$

Suma 8 a 7.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{7}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 24+\frac{7}{51}\times 99\\-\frac{2}{17}\times 24+\frac{1}{17}\times 99\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=15,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Para que 3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\times 24,3\times 6x+3\times 3y=3\times 99$$

Simplifica.

$$18x-42y=144,18x+9y=297$$

Resta 18x+9y=297 de 18x-42y=144 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x-42y-9y=144-297$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-42y-9y=144-297$$

Suma -42y a -9y.

$$-51y=144-297$$

Suma 144 a -297.

$$-51y=-153$$

Divide ambos lados entre -51.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 6x+3y=99. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+3\times 3=99$$

Multiplica 3 por 3.

$$6x+9=99$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$6x=90$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=3$$