Resolver {l}{3x-4y=7}{x+3/2-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 7 } \\ { \frac { x + 3 } { 2 } - y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-4y=7$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=4y+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4y+7.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

Substitúe x por \frac{4y+7}{3} na outra ecuación, \frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}+3\right)-y=4$$

Suma \frac{7}{3} a 3.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-y=4$$

Multiplica \frac{1}{2} por \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-y=4$$

Suma \frac{2y}{3} a -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=4$$

Resta \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{7}{3}$$

Multiplica \frac{4}{3} por -4.

$$x=\frac{-16+7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -\frac{16}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

Simplifica a segunda ecuación para convertela a forma estándar.

$$\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

Multiplica \frac{1}{2} por x+3.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-y=4$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}x-y=\frac{5}{2}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-4\times \frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\times 7-3\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-4$$