Resolver {l}{3x-4y=-6}{x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-4y=-6$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=4y-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

Substitúe x por \frac{4y}{3}-2 na outra ecuación, x+2y=8.

$$\frac{4}{3}y-2+2y=8$$

Suma \frac{4y}{3} a 2y.

$$\frac{10}{3}y-2=8$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{10}{3}y=10$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{4}{3}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

Multiplica \frac{4}{3} por 3.

$$x=4-2$$

Suma -2 a 4.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{5}\times 8\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-4y=-6,3x+3\times 2y=3\times 8$$

Simplifica.

$$3x-4y=-6,3x+6y=24$$

Resta 3x+6y=24 de 3x-4y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-4y-6y=-6-24$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-6y=-6-24$$

Suma -4y a -6y.

$$-10y=-6-24$$

Suma -6 a -24.

$$-10y=-30$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x+2y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times 3=8$$

Multiplica 2 por 3.

$$x+6=8$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$