Resolver {l}{3x-4y=-1}{x-6y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 1 } \\ { x - 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-4y=-1$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=4y-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4y-1.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{4y-1}{3} na outra ecuación, x-6y=-5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}-6y=-5$$

Suma \frac{4y}{3} a -6y.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=-5$$

Suma \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{14}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{14}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a \frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)-\frac{2}{7}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-1\right)-\frac{3}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-4y=-1,3x+3\left(-6\right)y=3\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$3x-4y=-1,3x-18y=-15$$

Resta 3x-18y=-15 de 3x-4y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-4y+18y=-1+15$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+18y=-1+15$$

Suma -4y a 18y.

$$14y=-1+15$$

Suma -1 a 15.

$$14y=14$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x-6y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-6=-5$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$