Resolver {l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=5$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{2y+5}{3} na outra ecuación, -3x+4y=-9.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

Multiplica -3 por \frac{2y+5}{3}.

$$-2y-5+4y=-9$$

Suma -2y a 4y.

$$2y-5=-9$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por -2.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Para que 3x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

Simplifica.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

Resta -9x+12y=-27 de -9x+6y=-15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

Suma -9x a 9x. -9x e 9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-12y=-15+27$$

Suma 6y a -12y.

$$-6y=-15+27$$

Suma -15 a 27.

$$-6y=12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -3x+4y=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

Multiplica 4 por -2.

$$-3x-8=-9$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-1$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$