Resolver {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=-3$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Substitúe x por \frac{2y}{3}-1 na outra ecuación, 2x+4y=2.

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

Multiplica 2 por \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

Suma \frac{4y}{3} a 4y.

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{16}{3}y=4$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{16}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{3}{4}$$

Substitúe y por \frac{3}{4} en x=\frac{2}{3}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

Multiplica \frac{2}{3} por \frac{3}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{2}-1$$

Suma -1 a \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

Simplifica.

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

Resta 6x+12y=6 de 6x-4y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-12y=-6-6$$

Suma -4y a -12y.

$$-16y=-6-6$$

Suma -6 a -6.

$$-16y=-12$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

Substitúe y por \frac{3}{4} en 2x+4y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

Multiplica 4 por \frac{3}{4}.

$$2x+3=2$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$