Resolver {l}{3x-2y+2=6}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 2 = 6 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y+2=6$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x-2y=4$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{4+2y}{3} na outra ecuación, 3x+2y=4.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+2y=4$$

Multiplica 3 por \frac{4+2y}{3}.

$$2y+4+2y=4$$

Suma 2y a 2y.

$$4y+4=4$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$4y=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{3},y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

Resta 3x+2y=4 de 3x-2y+2=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-2y-2y+2=6-4$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-2y+2=6-4$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y+2=6-4$$

Suma 6 a -4.

$$-4y+2=2$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=0$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 3x+2y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x=4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=0$$