Resolver {l}{3x=-4y}{5x-6y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4y en ambos lados.

$$3x+4y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=0$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Substitúe x por -\frac{4y}{3} na outra ecuación, 5x-6y=38.

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

Multiplica 5 por -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

Suma -\frac{20y}{3} a -6y.

$$-\frac{38}{3}y=38$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{38}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{4}{3}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4y en ambos lados.

$$3x+4y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4y en ambos lados.

$$3x+4y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

Simplifica.

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

Resta 15x-18y=114 de 15x+20y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y+18y=-114$$

Suma 20y a 18y.

$$38y=-114$$

Divide ambos lados entre 38.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 5x-6y=38. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

Multiplica -6 por -3.

$$5x+18=38$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$5x=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-3$$