Resolver {l}{3x+y=2}{5x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=2$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+2}{3} na outra ecuación, 5x-y=8.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

Multiplica 5 por \frac{-y+2}{3}.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

Suma -\frac{5y}{3} a -y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

Resta \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{7}{4}$$

Substitúe y por -\frac{7}{4} en x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -\frac{7}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a \frac{7}{12} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

Simplifica.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

Resta 15x-3y=24 de 15x+5y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+3y=10-24$$

Suma 5y a 3y.

$$8y=10-24$$

Suma 10 a -24.

$$8y=-14$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=-\frac{7}{4}$$

Substitúe y por -\frac{7}{4} en 5x-y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

Resta \frac{7}{4} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{25}{4}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{5}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$