Resolver {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=11$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+11$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+11.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+11}{3} na outra ecuación, -4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

Multiplica -4 por \frac{-y+11}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

Suma \frac{4y}{3} a -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

Suma \frac{44}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=77$$

Substitúe y por 77 en x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 77.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

Suma \frac{11}{3} a -\frac{77}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-22$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-22,y=77$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-22,y=77$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Para que 3x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Simplifica.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

Resta -12x-3y=33 de -12x-4y=-44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+3y=-44-33$$

Suma -4y a 3y.

$$-y=-44-33$$

Suma -44 a -33.

$$-y=-77$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=77$$

Substitúe y por 77 en -4x-y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x-77=11$$

Suma 77 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=88$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-22$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-22,y=77$$