Resolver {l}{3x+8y=-2}{5x-12y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = - 2 } \\ { 5 x - 12 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

$$y=\frac{1}{38}\approx 0.026315789$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+8y=-2,5x-12y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+8y=-2$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-8y-2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -8y-2.

$$x=-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{-8y-2}{3} na outra ecuación, 5x-12y=-4.

$$5\left(-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}\right)-12y=-4$$

Multiplica 5 por \frac{-8y-2}{3}.

$$-\frac{40}{3}y-\frac{10}{3}-12y=-4$$

Suma -\frac{40y}{3} a -12y.

$$-\frac{76}{3}y-\frac{10}{3}=-4$$

Suma \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{76}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{76}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{38}$$

Substitúe y por \frac{1}{38} en x=-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{8}{3}\times \frac{1}{38}-\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{8}{3} por \frac{1}{38} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{4}{57}-\frac{2}{3}$$

Suma -\frac{2}{3} a -\frac{4}{57} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{14}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{14}{19},y=\frac{1}{38}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+8y=-2,5x-12y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{3\left(-12\right)-8\times 5}&-\frac{8}{3\left(-12\right)-8\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-12\right)-8\times 5}&\frac{3}{3\left(-12\right)-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{76}&-\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-2\right)+\frac{2}{19}\left(-4\right)\\\frac{5}{76}\left(-2\right)-\frac{3}{76}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{19}\\\frac{1}{38}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{14}{19},y=\frac{1}{38}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+8y=-2,5x-12y=-4$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\times 8y=5\left(-2\right),3\times 5x+3\left(-12\right)y=3\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$15x+40y=-10,15x-36y=-12$$

Resta 15x-36y=-12 de 15x+40y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+40y+36y=-10+12$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y+36y=-10+12$$

Suma 40y a 36y.

$$76y=-10+12$$

Suma -10 a 12.

$$76y=2$$

Divide ambos lados entre 76.

$$y=\frac{1}{38}$$

Substitúe y por \frac{1}{38} en 5x-12y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-12\times \frac{1}{38}=-4$$

Multiplica -12 por \frac{1}{38}.

$$5x-\frac{6}{19}=-4$$

Suma \frac{6}{19} en ambos lados da ecuación.

$$5x=-\frac{70}{19}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-\frac{14}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{14}{19},y=\frac{1}{38}$$