Resolver {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+6y=24$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-6y+24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -6y+24.

$$x=-2y+8$$

Substitúe x por -2y+8 na outra ecuación, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

Multiplica 9 por -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

Suma -18y a 5y.

$$-13y+72=68$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$-13y=-4$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=\frac{4}{13}$$

Substitúe y por \frac{4}{13} en x=-2y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

Multiplica -2 por \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

Suma 8 a -\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Para que 3x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Simplifica.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Resta 27x+15y=204 de 27x+54y=216 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

Suma 27x a -27x. 27x e -27x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$54y-15y=216-204$$

Suma 54y a -15y.

$$39y=216-204$$

Suma 216 a -204.

$$39y=12$$

Divide ambos lados entre 39.

$$y=\frac{4}{13}$$

Substitúe y por \frac{4}{13} en 9x+5y=68. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

Multiplica 5 por \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Resta \frac{20}{13} en ambos lados da ecuación.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{96}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$