Resolver {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=4$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y+4}{3} na outra ecuación, -3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

Multiplica -3 por \frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

Suma 5y a 4y.

$$9y-4=11$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$9y=15$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=\frac{5}{3}$$

Substitúe y por \frac{5}{3} en x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por \frac{5}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a -\frac{25}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{13}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Para que 3x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

Simplifica.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

Resta -9x+12y=33 de -9x-15y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

Suma -9x a 9x. -9x e 9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-12y=-12-33$$

Suma -15y a -12y.

$$-27y=-12-33$$

Suma -12 a -33.

$$-27y=-45$$

Divide ambos lados entre -27.

$$y=\frac{5}{3}$$

Substitúe y por \frac{5}{3} en -3x+4y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

Multiplica 4 por \frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

Resta \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{13}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$