Resolver {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y+1}{3} na outra ecuación, 2x-3y=0.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

Multiplica 2 por \frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

Suma -\frac{10y}{3} a -3y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

Resta \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{19}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{2}{19}$$

Substitúe y por \frac{2}{19} en x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por \frac{2}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a -\frac{10}{57} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

Simplifica.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

Resta 6x-9y=0 de 6x+10y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+9y=2$$

Suma 10y a 9y.

$$19y=2$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=\frac{2}{19}$$

Substitúe y por \frac{2}{19} en 2x-3y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

Multiplica -3 por \frac{2}{19}.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

Suma \frac{6}{19} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{6}{19}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{3}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$