Resolver {l}{3x+5y=-1}{3x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 1 } \\ { 3 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=-1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y-1.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y-1}{3} na outra ecuación, 3x+y=3.

$$3\left(-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)+y=3$$

Multiplica 3 por \frac{-5y-1}{3}.

$$-5y-1+y=3$$

Suma -5y a y.

$$-4y-1=3$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -1.

$$x=\frac{5-1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a \frac{5}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 3}&-\frac{5}{3-5\times 3}\\-\frac{3}{3-5\times 3}&\frac{3}{3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)+\frac{5}{12}\times 3\\\frac{1}{4}\left(-1\right)-\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Resta 3x+y=3 de 3x+5y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+5y-y=-1-3$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-y=-1-3$$

Suma 5y a -y.

$$4y=-1-3$$

Suma -1 a -3.

$$4y=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 3x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-1=3$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$3x=4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$