Resolver {l}{3x+4y=5}{5x+5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=5$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y+5}{3} na outra ecuación, 5x+5y=7.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

Multiplica 5 por \frac{-4y+5}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

Suma -\frac{20y}{3} a 5y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

Resta \frac{25}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{4}{5}$$

Substitúe y por \frac{4}{5} en x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por \frac{4}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{16}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

Simplifica.

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

Resta 15x+15y=21 de 15x+20y=25 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-15y=25-21$$

Suma 20y a -15y.

$$5y=25-21$$

Suma 25 a -21.

$$5y=4$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{4}{5}$$

Substitúe y por \frac{4}{5} en 5x+5y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

Multiplica 5 por \frac{4}{5}.

$$5x+4=7$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$5x=3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$