Resolver {l}{3x+4y=22}{2x+6y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 22 } \\ { 2 x + 6 y = 23 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=22,2x+6y=23$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=22$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+22$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+22\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+22.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{22}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y+22}{3} na outra ecuación, 2x+6y=23.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{22}{3}\right)+6y=23$$

Multiplica 2 por \frac{-4y+22}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+6y=23$$

Suma -\frac{8y}{3} a 6y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{44}{3}=23$$

Resta \frac{44}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{10}{3}y=\frac{25}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{5}{2}$$

Substitúe y por \frac{5}{2} en x=-\frac{4}{3}y+\frac{22}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{22}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por \frac{5}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-10+22}{3}$$

Suma \frac{22}{3} a -\frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=22,2x+6y=23$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 6-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 6-4\times 2}&\frac{3}{3\times 6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 22-\frac{2}{5}\times 23\\-\frac{1}{5}\times 22+\frac{3}{10}\times 23\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=22,2x+6y=23$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2\times 22,3\times 2x+3\times 6y=3\times 23$$

Simplifica.

$$6x+8y=44,6x+18y=69$$

Resta 6x+18y=69 de 6x+8y=44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+8y-18y=44-69$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-18y=44-69$$

Suma 8y a -18y.

$$-10y=44-69$$

Suma 44 a -69.

$$-10y=-25$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=\frac{5}{2}$$

Substitúe y por \frac{5}{2} en 2x+6y=23. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+6\times \frac{5}{2}=23$$

Multiplica 6 por \frac{5}{2}.

$$2x+15=23$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$2x=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$