Resolver {l}{3x+2y=7}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=7$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+7}{3} na outra ecuación, 2x+y=4.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=4$$

Multiplica 2 por \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{14}{3}+y=4$$

Suma -\frac{4y}{3} a y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{14}{3}=4$$

Resta \frac{14}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -\frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+2\times 4\\2\times 7-3\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\times 4$$

Simplifica.

$$6x+4y=14,6x+3y=12$$

Resta 6x+3y=12 de 6x+4y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+4y-3y=14-12$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-3y=14-12$$

Suma 4y a -3y.

$$y=14-12$$

Suma 14 a -12.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x+y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2=4$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$