Resolver {l}{3x+2y=4}{6x-2y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 6 x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=4$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+4}{3} na outra ecuación, 6x-2y=-1.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=-1$$

Multiplica 6 por \frac{-2y+4}{3}.

$$-4y+8-2y=-1$$

Suma -4y a -2y.

$$-6y+8=-1$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-9$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=\frac{3}{2}$$

Substitúe y por \frac{3}{2} en x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{4}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1+\frac{4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a -1.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

Para que 3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$18x+12y=24,18x-6y=-3$$

Resta 18x-6y=-3 de 18x+12y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+12y+6y=24+3$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y+6y=24+3$$

Suma 12y a 6y.

$$18y=24+3$$

Suma 24 a 3.

$$18y=27$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=\frac{3}{2}$$

Substitúe y por \frac{3}{2} en 6x-2y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-2\times \frac{3}{2}=-1$$

Multiplica -2 por \frac{3}{2}.

$$6x-3=-1$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$6x=2$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$