Resolver {l}{3x+2y=17}{5x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 17 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

$$y = \frac{79}{13} = 6\frac{1}{13} \approx 6.076923077$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=17$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+17$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+17.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+17}{3} na outra ecuación, 5x-y=2.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}\right)-y=2$$

Multiplica 5 por \frac{-2y+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{85}{3}-y=2$$

Suma -\frac{10y}{3} a -y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{85}{3}=2$$

Resta \frac{85}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{79}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{79}{13}$$

Substitúe y por \frac{79}{13} en x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{79}{13}+\frac{17}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{79}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{158}{39}+\frac{17}{3}$$

Suma \frac{17}{3} a -\frac{158}{39} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{21}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 17+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{13}\\\frac{79}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 17,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

Simplifica.

$$15x+10y=85,15x-3y=6$$

Resta 15x-3y=6 de 15x+10y=85 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+10y+3y=85-6$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+3y=85-6$$

Suma 10y a 3y.

$$13y=85-6$$

Suma 85 a -6.

$$13y=79$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=\frac{79}{13}$$

Substitúe y por \frac{79}{13} en 5x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-\frac{79}{13}=2$$

Suma \frac{79}{13} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{105}{13}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{21}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$