Resolver {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2k$$

$$y=5k$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=16k$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+16k$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+16k.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+16k}{3} na outra ecuación, 5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

Multiplica 5 por \frac{-2y+16k}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

Suma -\frac{10y}{3} a -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

Resta \frac{80k}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{22}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5k$$

Substitúe y por 5k en x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 5k.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

Suma \frac{16k}{3} a -\frac{10k}{3}.

$$x=2k$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2k,y=5k$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2k,y=5k$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

Simplifica.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

Resta 15x-12y=-30k de 15x+10y=80k mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+12y=80k+30k$$

Suma 10y a 12y.

$$22y=80k+30k$$

Suma 80k a 30k.

$$22y=110k$$

Divide ambos lados entre 22.

$$y=5k$$

Substitúe y por 5k en 5x-4y=-10k. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

Multiplica -4 por 5k.

$$5x-20k=-10k$$

Suma 20k en ambos lados da ecuación.

$$5x=10k$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=2k$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2k,y=5k$$