Resolver {l}{3x+2y=1}{2(x-1)/3-3y+1/2=2x+y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { \frac { 2 ( x - 1 ) } { 3 } - \frac { 3 y + 1 } { 2 } = 2 x + y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\times 2\left(x-1\right)-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$4\left(x-1\right)-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x-1.

$$4x-4-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 3y+1.

$$4x-4-9y-3=12x+6y$$

Resta 3 de -4 para obter -7.

$$4x-7-9y=12x+6y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$4x-7-9y-12x=6y$$

Combina 4x e -12x para obter -8x.

$$-8x-7-9y=6y$$

Resta 6y en ambos lados.

$$-8x-7-9y-6y=0$$

Combina -9y e -6y para obter -15y.

$$-8x-7-15y=0$$

Engadir 7 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-8x-15y=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=1,-8x-15y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+1}{3} na outra ecuación, -8x-15y=7.

$$-8\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-15y=7$$

Multiplica -8 por \frac{-2y+1}{3}.

$$\frac{16}{3}y-\frac{8}{3}-15y=7$$

Suma \frac{16y}{3} a -15y.

$$-\frac{29}{3}y-\frac{8}{3}=7$$

Suma \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{29}{3}y=\frac{29}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{29}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -1.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\times 2\left(x-1\right)-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$4\left(x-1\right)-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x-1.

$$4x-4-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 3y+1.

$$4x-4-9y-3=12x+6y$$

Resta 3 de -4 para obter -7.

$$4x-7-9y=12x+6y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$4x-7-9y-12x=6y$$

Combina 4x e -12x para obter -8x.

$$-8x-7-9y=6y$$

Resta 6y en ambos lados.

$$-8x-7-9y-6y=0$$

Combina -9y e -6y para obter -15y.

$$-8x-7-15y=0$$

Engadir 7 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-8x-15y=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=1,-8x-15y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\-8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{3\left(-15\right)-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{3\left(-15\right)-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{3\left(-15\right)-2\left(-8\right)}&\frac{3}{3\left(-15\right)-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}&\frac{2}{29}\\-\frac{8}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}+\frac{2}{29}\times 7\\-\frac{8}{29}-\frac{3}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\times 2\left(x-1\right)-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$4\left(x-1\right)-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x-1.

$$4x-4-3\left(3y+1\right)=12x+6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 3y+1.

$$4x-4-9y-3=12x+6y$$

Resta 3 de -4 para obter -7.

$$4x-7-9y=12x+6y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$4x-7-9y-12x=6y$$

Combina 4x e -12x para obter -8x.

$$-8x-7-9y=6y$$

Resta 6y en ambos lados.

$$-8x-7-9y-6y=0$$

Combina -9y e -6y para obter -15y.

$$-8x-7-15y=0$$

Engadir 7 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-8x-15y=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=1,-8x-15y=7$$

Para que 3x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-8\times 3x-8\times 2y=-8,3\left(-8\right)x+3\left(-15\right)y=3\times 7$$

Simplifica.

$$-24x-16y=-8,-24x-45y=21$$

Resta -24x-45y=21 de -24x-16y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-24x+24x-16y+45y=-8-21$$

Suma -24x a 24x. -24x e 24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-16y+45y=-8-21$$

Suma -16y a 45y.

$$29y=-8-21$$

Suma -8 a -21.

$$29y=-29$$

Divide ambos lados entre 29.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -8x-15y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x-15\left(-1\right)=7$$

Multiplica -15 por -1.

$$-8x+15=7$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-8$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$