Resolver {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=1$$

$$n=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$3m+4n=7$$

Resta 4n en ambos lados da ecuación.

$$3m=-4n+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4n+7.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

Substitúe m por \frac{-4n+7}{3} na outra ecuación, 4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

Multiplica 4 por \frac{-4n+7}{3}.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

Suma -\frac{16n}{3} a -3n.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

Suma \frac{28}{3} a -1.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

Resta \frac{25}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{25}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=1$$

Substitúe n por 1 en m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -\frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=1,n=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=1,n=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Para que 3m e 4m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

Simplifica.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

Resta 12m-9n-3=0 de 12m+16n=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

Suma 12m a -12m. 12m e -12m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16n+9n+3=28$$

Suma 16n a 9n.

$$25n+3=28$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$25n=25$$

Divide ambos lados entre 25.

$$n=1$$

Substitúe n por 1 en 4m-3n-1=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$4m-3-1=0$$

Suma -3 a -1.

$$4m-4=0$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$4m=4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$m=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=1,n=1$$