Resolver {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$3a+14b=4$$

Resta 14b en ambos lados da ecuación.

$$3a=-14b+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Substitúe a por \frac{-14b+4}{3} na outra ecuación, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

Multiplica 13 por \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Suma -\frac{182b}{3} a 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Resta \frac{52}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{125}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=\frac{13}{125}$$

Substitúe b por \frac{13}{125} en a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Multiplica -\frac{14}{3} por \frac{13}{125} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a -\frac{182}{375} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{106}{125}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Para que 3a e 13a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 13 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Simplifica.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Resta 39a+57b=39 de 39a+182b=52 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Suma 39a a -39a. 39a e -39a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$182b-57b=52-39$$

Suma 182b a -57b.

$$125b=52-39$$

Suma 52 a -39.

$$125b=13$$

Divide ambos lados entre 125.

$$b=\frac{13}{125}$$

Substitúe b por \frac{13}{125} en 13a+19b=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

Multiplica 19 por \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Resta \frac{247}{125} en ambos lados da ecuación.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Divide ambos lados entre 13.

$$a=\frac{106}{125}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$