Resolver {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x-3-2y=-2$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$3x-2y=-2+3$$

Suma -2 e 3 para obter 1.

$$3x-2y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Resta 3x en ambos lados.

$$4y-4-3x=15$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$4y-3x=15+4$$

Suma 15 e 4 para obter 19.

$$4y-3x=19$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=1$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{2y+1}{3} na outra ecuación, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

Multiplica -3 por \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

Suma -2y a 4y.

$$2y-1=19$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$2y=20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{20}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=10$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x-3-2y=-2$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$3x-2y=-2+3$$

Suma -2 e 3 para obter 1.

$$3x-2y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Resta 3x en ambos lados.

$$4y-4-3x=15$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$4y-3x=15+4$$

Suma 15 e 4 para obter 19.

$$4y-3x=19$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x-3-2y=-2$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$3x-2y=-2+3$$

Suma -2 e 3 para obter 1.

$$3x-2y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Resta 3x en ambos lados.

$$4y-4-3x=15$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$4y-3x=15+4$$

Suma 15 e 4 para obter 19.

$$4y-3x=19$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Para que 3x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

Simplifica.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

Resta -9x+12y=57 de -9x+6y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

Suma -9x a 9x. -9x e 9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-12y=-3-57$$

Suma 6y a -12y.

$$-6y=-3-57$$

Suma -3 a -57.

$$-6y=-60$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en -3x+4y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+4\times 10=19$$

Multiplica 4 por 10.

$$-3x+40=19$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-21$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=10$$