Resolver {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Resta 2x en ambos lados.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x+3y+9=-2y$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$x+3y+9+2y=0$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$x+5y+9=0$$

Resta 9 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x+5y=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Engadir 3y en ambos lados.

$$-x+2y+3y=-4$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+5y=-9$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$x=-5y-9$$

Substitúe x por -5y-9 na outra ecuación, -x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

Multiplica -1 por -5y-9.

$$5y+9+5y=-4$$

Suma 5y a 5y.

$$10y+9=-4$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$10y=-13$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-\frac{13}{10}$$

Substitúe y por -\frac{13}{10} en x=-5y-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

Multiplica -5 por -\frac{13}{10}.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

Suma -9 a \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Resta 2x en ambos lados.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x+3y+9=-2y$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$x+3y+9+2y=0$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$x+5y+9=0$$

Resta 9 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x+5y=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Engadir 3y en ambos lados.

$$-x+2y+3y=-4$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Resta 2x en ambos lados.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x+3y+9=-2y$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$x+3y+9+2y=0$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$x+5y+9=0$$

Resta 9 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x+5y=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Engadir 3y en ambos lados.

$$-x+2y+3y=-4$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Resta -x+5y=-4 de x+5y=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+x=-9+4$$

Suma x a x.

$$2x=-9+4$$

Suma -9 a 4.

$$2x=-5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Substitúe x por -\frac{5}{2} en -x+5y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

Multiplica -1 por -\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-\frac{13}{10}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$