Resolver {l}{3(x+y)+2(x-y)=18}{2(x+y)-(x-y)=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 2 ( x - y ) = 18 } \\ { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$y = -\frac{19}{7} = -2\frac{5}{7} \approx -2.714285714$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

Combina 3x e 2x para obter 5x.

$$5x+3y-2y=18$$

Combina 3y e -2y para obter y.

$$5x+y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

Para calcular o oposto de x-y, calcula o oposto de cada termo.

$$2x+2y-x+y=-4$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x+2y+y=-4$$

Combina 2y e y para obter 3y.

$$x+3y=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=18$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+18$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+18.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y+18}{5} na outra ecuación, x+3y=-4.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}+3y=-4$$

Suma -\frac{y}{5} a 3y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

Resta \frac{18}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{14}{5}y=-\frac{38}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{14}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{19}{7}$$

Substitúe y por -\frac{19}{7} en x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{19}{7}\right)+\frac{18}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -\frac{19}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{19}{35}+\frac{18}{5}$$

Suma \frac{18}{5} a \frac{19}{35} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{29}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

Combina 3x e 2x para obter 5x.

$$5x+3y-2y=18$$

Combina 3y e -2y para obter y.

$$5x+y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

Para calcular o oposto de x-y, calcula o oposto de cada termo.

$$2x+2y-x+y=-4$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x+2y+y=-4$$

Combina 2y e y para obter 3y.

$$x+3y=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-1}&-\frac{1}{5\times 3-1}\\-\frac{1}{5\times 3-1}&\frac{5}{5\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 18-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{14}\times 18+\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\-\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

Combina 3x e 2x para obter 5x.

$$5x+3y-2y=18$$

Combina 3y e -2y para obter y.

$$5x+y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

Para calcular o oposto de x-y, calcula o oposto de cada termo.

$$2x+2y-x+y=-4$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x+2y+y=-4$$

Combina 2y e y para obter 3y.

$$x+3y=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x+y=18,5x+5\times 3y=5\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$5x+y=18,5x+15y=-20$$

Resta 5x+15y=-20 de 5x+y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+y-15y=18+20$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-15y=18+20$$

Suma y a -15y.

$$-14y=18+20$$

Suma 18 a 20.

$$-14y=38$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-\frac{19}{7}$$

Substitúe y por -\frac{19}{7} en x+3y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\left(-\frac{19}{7}\right)=-4$$

Multiplica 3 por -\frac{19}{7}.

$$x-\frac{57}{7}=-4$$

Suma \frac{57}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{29}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$