Resolver {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+2.

$$3x+6=2y$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x+6-2y=0$$

Resta 6 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-2y=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 7x en ambos lados.

$$2cy+5-7x=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2cy-7x=-5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=-6$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Substitúe x por \frac{2y}{3}-2 na outra ecuación, -7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

Multiplica -7 por \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

Suma -\frac{14y}{3} a 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

Divide ambos lados entre -\frac{14}{3}+2c.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Substitúe y por -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} en x=\frac{2}{3}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Multiplica \frac{2}{3} por -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

Suma -2 a -\frac{19}{-7+3c}.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+2.

$$3x+6=2y$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x+6-2y=0$$

Resta 6 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-2y=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 7x en ambos lados.

$$2cy+5-7x=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2cy-7x=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+2.

$$3x+6=2y$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x+6-2y=0$$

Resta 6 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-2y=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 7x en ambos lados.

$$2cy+5-7x=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2cy-7x=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Para que 3x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

Resta -21x+6cy=-15 de -21x+14y=42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Suma -21x a 21x. -21x e 21x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Suma 14y a -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

Suma 42 a 15.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

Divide ambos lados entre 14-6c.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

Substitúe y por \frac{57}{2\left(7-3c\right)} en -7x+2cy=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

Multiplica 2c por \frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

Resta \frac{57c}{7-3c} en ambos lados da ecuación.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$