Resolver {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Resta 21 de -6 para obter -27.

$$15x-27-14y=2$$

Engadir 27 en ambos lados.

$$15x-14y=2+27$$

Suma 2 e 27 para obter 29.

$$15x-14y=29$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Engadir 27x en ambos lados.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Combina 6x e 27x para obter 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Engadir 23 en ambos lados.

$$33x-2y=12+23$$

Suma 12 e 23 para obter 35.

$$33x-2y=35$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$15x-14y=29$$

Suma 14y en ambos lados da ecuación.

$$15x=14y+29$$

Divide ambos lados entre 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Multiplica \frac{1}{15} por 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Substitúe x por \frac{14y+29}{15} na outra ecuación, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Multiplica 33 por \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Suma \frac{154y}{5} a -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Resta \frac{319}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{144}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Multiplica \frac{14}{15} por -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Suma \frac{29}{15} a -\frac{14}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Resta 21 de -6 para obter -27.

$$15x-27-14y=2$$

Engadir 27 en ambos lados.

$$15x-14y=2+27$$

Suma 2 e 27 para obter 29.

$$15x-14y=29$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Engadir 27x en ambos lados.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Combina 6x e 27x para obter 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Engadir 23 en ambos lados.

$$33x-2y=12+23$$

Suma 12 e 23 para obter 35.

$$33x-2y=35$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Resta 21 de -6 para obter -27.

$$15x-27-14y=2$$

Engadir 27 en ambos lados.

$$15x-14y=2+27$$

Suma 2 e 27 para obter 29.

$$15x-14y=29$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Engadir 27x en ambos lados.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Combina 6x e 27x para obter 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Engadir 23 en ambos lados.

$$33x-2y=12+23$$

Suma 12 e 23 para obter 35.

$$33x-2y=35$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Para que 15x e 33x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 33 e todos os termos a cada lado da segunda por 15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Simplifica.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Resta 495x-30y=525 de 495x-462y=957 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Suma 495x a -495x. 495x e -495x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-462y+30y=957-525$$

Suma -462y a 30y.

$$-432y=957-525$$

Suma 957 a -525.

$$-432y=432$$

Divide ambos lados entre -432.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 33x-2y=35. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Multiplica -2 por -1.

$$33x+2=35$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$33x=33$$

Divide ambos lados entre 33.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$