Resolver {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$25x+35y=16500$$

Resta 35y en ambos lados da ecuación.

$$25x=-35y+16500$$

Divide ambos lados entre 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

Multiplica \frac{1}{25} por -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

Substitúe x por -\frac{7y}{5}+660 na outra ecuación, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

Suma -\frac{7y}{5} a y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

Resta 660 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=400$$

Substitúe y por 400 en x=-\frac{7}{5}y+660. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

Multiplica -\frac{7}{5} por 400.

$$x=-560+660$$

Suma 660 a -560.

$$x=100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=100,y=400$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=100,y=400$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Para que 25x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Simplifica.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

Resta 25x+25y=12500 de 25x+35y=16500 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

Suma 25x a -25x. 25x e -25x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$35y-25y=16500-12500$$

Suma 35y a -25y.

$$10y=16500-12500$$

Suma 16500 a -12500.

$$10y=4000$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=400$$

Substitúe y por 400 en x+y=500. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+400=500$$

Resta 400 en ambos lados da ecuación.

$$x=100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=100,y=400$$