Resolver {l}{20-7600x-1600y=0}{20-1000x-6000y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 - 7600 x - 1600 y = 0 } \\ { 20 - 1000 x - 6000 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{500}=0.002$$

$$y=\frac{3}{1000}=0.003$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-7600x-1600y+20=0$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-7600x-1600y=-20$$

Suma 1600y en ambos lados da ecuación.

$$-7600x=1600y-20$$

Divide ambos lados entre -7600.

$$x=-\frac{1}{7600}\left(1600y-20\right)$$

Multiplica -\frac{1}{7600} por 1600y-20.

$$x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}$$

Substitúe x por -\frac{4y}{19}+\frac{1}{380} na outra ecuación, -1000x-6000y+20=0.

$$-1000\left(-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}\right)-6000y+20=0$$

Multiplica -1000 por -\frac{4y}{19}+\frac{1}{380}.

$$\frac{4000}{19}y-\frac{50}{19}-6000y+20=0$$

Suma \frac{4000y}{19} a -6000y.

$$-\frac{110000}{19}y-\frac{50}{19}+20=0$$

Suma -\frac{50}{19} a 20.

$$-\frac{110000}{19}y+\frac{330}{19}=0$$

Resta \frac{330}{19} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{110000}{19}y=-\frac{330}{19}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{110000}{19}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{3}{1000}$$

Substitúe y por \frac{3}{1000} en x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{19}\times \frac{3}{1000}+\frac{1}{380}$$

Multiplica -\frac{4}{19} por \frac{3}{1000} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3}{4750}+\frac{1}{380}$$

Suma \frac{1}{380} a -\frac{3}{4750} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{500}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{-1600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\\-\frac{-1000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{7600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}&\frac{1}{27500}\\\frac{1}{44000}&-\frac{19}{110000}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}\left(-20\right)+\frac{1}{27500}\left(-20\right)\\\frac{1}{44000}\left(-20\right)-\frac{19}{110000}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{500}\\\frac{3}{1000}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

Para que -7600x e -1000x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1000 e todos os termos a cada lado da segunda por -7600.

$$-1000\left(-7600\right)x-1000\left(-1600\right)y-1000\times 20=0,-7600\left(-1000\right)x-7600\left(-6000\right)y-7600\times 20=0$$

Simplifica.

$$7600000x+1600000y-20000=0,7600000x+45600000y-152000=0$$

Resta 7600000x+45600000y-152000=0 de 7600000x+1600000y-20000=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7600000x-7600000x+1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

Suma 7600000x a -7600000x. 7600000x e -7600000x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

Suma 1600000y a -45600000y.

$$-44000000y-20000+152000=0$$

Suma -20000 a 152000.

$$-44000000y+132000=0$$

Resta 132000 en ambos lados da ecuación.

$$-44000000y=-132000$$

Divide ambos lados entre -44000000.

$$y=\frac{3}{1000}$$

Substitúe y por \frac{3}{1000} en -1000x-6000y+20=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-1000x-6000\times \frac{3}{1000}+20=0$$

Multiplica -6000 por \frac{3}{1000}.

$$-1000x-18+20=0$$

Suma -18 a 20.

$$-1000x+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-1000x=-2$$

Divide ambos lados entre -1000.

$$x=\frac{1}{500}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$