Resolver {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 20 en ambos lados.

$$x+y=115-20$$

Resta 20 de 115 para obter 95.

$$x+y=95$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8y en ambos lados.

$$11x-8y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=95$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+95$$

Substitúe x por -y+95 na outra ecuación, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Multiplica 11 por -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Suma -11y a -8y.

$$-19y+1045=0$$

Resta 1045 en ambos lados da ecuación.

$$-19y=-1045$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=55$$

Substitúe y por 55 en x=-y+95. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-55+95$$

Suma 95 a -55.

$$x=40$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=40,y=55$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 20 en ambos lados.

$$x+y=115-20$$

Resta 20 de 115 para obter 95.

$$x+y=95$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8y en ambos lados.

$$11x-8y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=40,y=55$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 20 en ambos lados.

$$x+y=115-20$$

Resta 20 de 115 para obter 95.

$$x+y=95$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8y en ambos lados.

$$11x-8y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Para que x e 11x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 11 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Simplifica.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Resta 11x-8y=0 de 11x+11y=1045 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Suma 11x a -11x. 11x e -11x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$11y+8y=1045$$

Suma 11y a 8y.

$$19y=1045$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=55$$

Substitúe y por 55 en 11x-8y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$11x-8\times 55=0$$

Multiplica -8 por 55.

$$11x-440=0$$

Suma 440 en ambos lados da ecuación.

$$11x=440$$

Divide ambos lados entre 11.

$$x=40$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=40,y=55$$