Resolver {l}{2y+7z=-6}{10y-7z=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y + 7 z = - 6 } \\ { 10 y - 7 z = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver y, z

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$z = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2y+7z=-6,10y-7z=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$2y+7z=-6$$

Resta 7z en ambos lados da ecuación.

$$2y=-7z-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-7z-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -7z-6.

$$y=-\frac{7}{2}z-3$$

Substitúe y por -\frac{7z}{2}-3 na outra ecuación, 10y-7z=26.

$$10\left(-\frac{7}{2}z-3\right)-7z=26$$

Multiplica 10 por -\frac{7z}{2}-3.

$$-35z-30-7z=26$$

Suma -35z a -7z.

$$-42z-30=26$$

Suma 30 en ambos lados da ecuación.

$$-42z=56$$

Divide ambos lados entre -42.

$$z=-\frac{4}{3}$$

Substitúe z por -\frac{4}{3} en y=-\frac{7}{2}z-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{7}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)-3$$

Multiplica -\frac{7}{2} por -\frac{4}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{14}{3}-3$$

Suma -3 a \frac{14}{3}.

$$y=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{5}{3},z=-\frac{4}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2y+7z=-6,10y-7z=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-7\times 10}&-\frac{7}{2\left(-7\right)-7\times 10}\\-\frac{10}{2\left(-7\right)-7\times 10}&\frac{2}{2\left(-7\right)-7\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{42}&-\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{12}\times 26\\\frac{5}{42}\left(-6\right)-\frac{1}{42}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e z.

$$y=\frac{5}{3},z=-\frac{4}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2y+7z=-6,10y-7z=26$$

Para que 2y e 10y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$10\times 2y+10\times 7z=10\left(-6\right),2\times 10y+2\left(-7\right)z=2\times 26$$

Simplifica.

$$20y+70z=-60,20y-14z=52$$

Resta 20y-14z=52 de 20y+70z=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20y-20y+70z+14z=-60-52$$

Suma 20y a -20y. 20y e -20y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$70z+14z=-60-52$$

Suma 70z a 14z.

$$84z=-60-52$$

Suma -60 a -52.

$$84z=-112$$

Divide ambos lados entre 84.

$$z=-\frac{4}{3}$$

Substitúe z por -\frac{4}{3} en 10y-7z=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$10y-7\left(-\frac{4}{3}\right)=26$$

Multiplica -7 por -\frac{4}{3}.

$$10y+\frac{28}{3}=26$$

Resta \frac{28}{3} en ambos lados da ecuación.

$$10y=\frac{50}{3}$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{5}{3},z=-\frac{4}{3}$$