Resolver {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=5$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5+y}{2} na outra ecuación, 4x+6y=24.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

Multiplica 4 por \frac{5+y}{2}.

$$2y+10+6y=24$$

Suma 2y a 6y.

$$8y+10=24$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$8y=14$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=\frac{7}{4}$$

Substitúe y por \frac{7}{4} en x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por \frac{7}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a \frac{7}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{27}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

Simplifica.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

Resta 8x+12y=48 de 8x-4y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-12y=20-48$$

Suma -4y a -12y.

$$-16y=20-48$$

Suma 20 a -48.

$$-16y=-28$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=\frac{7}{4}$$

Substitúe y por \frac{7}{4} en 4x+6y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

Multiplica 6 por \frac{7}{4}.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

Resta \frac{21}{2} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{27}{2}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{27}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$