Resolver {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$-x+3y=30$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=5$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5+y}{2} na outra ecuación, -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

Multiplica -1 por \frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

Suma -\frac{y}{2} a 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Suma \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=13$$

Substitúe y por 13 en x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por 13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a \frac{13}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=13$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$-x+3y=30$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=13$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$-x+3y=30$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Simplifica.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Resta -2x+6y=60 de -2x+y=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-6y=-5-60$$

Suma y a -6y.

$$-5y=-5-60$$

Suma -5 a -60.

$$-5y=-65$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=13$$

Substitúe y por 13 en -x+3y=30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+3\times 13=30$$

Multiplica 3 por 13.

$$-x+39=30$$

Resta 39 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-9$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=13$$