Resolver {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$2x-y-4x=-3$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x-y=-3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=y-3$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+3}{2} na outra ecuación, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$2x-y-4x=-3$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$2x-y-4x=-3$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Para que -2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Simplifica.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Resta -2x-2y=-1 de -2x-y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+2y=-3+1$$

Suma -y a 2y.

$$y=-3+1$$

Suma -3 a 1.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x+y=\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$