Resolver {l}{2x-y=4}{3x-5y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+2 na outra ecuación, 3x-5y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

Multiplica 3 por \frac{y}{2}+2.

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

Suma \frac{3y}{2} a -5y.

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}y=9$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Substitúe y por -\frac{18}{7} en x=\frac{1}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

Multiplica \frac{1}{2} por -\frac{18}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

Suma 2 a -\frac{9}{7}.

$$x=\frac{5}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

Simplifica.

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

Resta 6x-10y=30 de 6x-3y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+10y=12-30$$

Suma -3y a 10y.

$$7y=12-30$$

Suma 12 a -30.

$$7y=-18$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Substitúe y por -\frac{18}{7} en 3x-5y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

Multiplica -5 por -\frac{18}{7}.

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

Resta \frac{90}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{15}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{5}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$