Resolver {l}{2x-y=2}{3x=2(5-y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x = 2 ( 5 - y ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 5-y.

$$3x=10-2y$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$3x+2y=10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+1 na outra ecuación, 3x+2y=10.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=10$$

Multiplica 3 por \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=10$$

Suma \frac{3y}{2} a 2y.

$$\frac{7}{2}y+3=10$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{1}{2}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+1$$

Multiplica \frac{1}{2} por 2.

$$x=1+1$$

Suma 1 a 1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 5-y.

$$3x=10-2y$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$3x+2y=10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 5-y.

$$3x=10-2y$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$3x+2y=10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 10$$

Simplifica.

$$6x-3y=6,6x+4y=20$$

Resta 6x+4y=20 de 6x-3y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-3y-4y=6-20$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-4y=6-20$$

Suma -3y a -4y.

$$-7y=6-20$$

Suma 6 a -20.

$$-7y=-14$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 3x+2y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times 2=10$$

Multiplica 2 por 2.

$$3x+4=10$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=2$$