Resolver {l}{2x-y=1}{3x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{1+y}{2} na outra ecuación, 3x-2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=4$$

Multiplica 3 por \frac{1+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}-2y=4$$

Suma \frac{3y}{2} a -2y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -\frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\3-2\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

Simplifica.

$$6x-3y=3,6x-4y=8$$

Resta 6x-4y=8 de 6x-3y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-3y+4y=3-8$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+4y=3-8$$

Suma -3y a 4y.

$$y=3-8$$

Suma 3 a -8.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en 3x-2y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\left(-5\right)=4$$

Multiplica -2 por -5.

$$3x+10=4$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-5$$