Resolver {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, m

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Combina 2x e -x para obter x.

$$x=4m+2$$

Substitúe x por 4m+2 na outra ecuación, -x-5m=-5.

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

Multiplica -1 por 4m+2.

$$-4m-2-5m=-5$$

Suma -4m a -5m.

$$-9m-2=-5$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-9m=-3$$

Divide ambos lados entre -9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Substitúe m por \frac{1}{3} en x=4m+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

Multiplica 4 por \frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Suma 2 a \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Combina 2x e -x para obter x.

$$x=4m+2$$

Resta 4m en ambos lados.

$$x-4m=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Combina x e -2x para obter -x.

$$-x=5m-5$$

Resta 5m en ambos lados.

$$-x-5m=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e m.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Combina 2x e -x para obter x.

$$x=4m+2$$

Resta 4m en ambos lados.

$$x-4m=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Combina x e -2x para obter -x.

$$-x=5m-5$$

Resta 5m en ambos lados.

$$-x-5m=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

Simplifica.

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

Resta -x-5m=-5 de -x+4m=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4m+5m=-2+5$$

Suma 4m a 5m.

$$9m=-2+5$$

Suma -2 a 5.

$$9m=3$$

Divide ambos lados entre 9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Substitúe m por \frac{1}{3} en -x-5m=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

Multiplica -5 por \frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

Suma \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-x=-\frac{10}{3}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=\frac{10}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$