Resolver {l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-7y=8$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$2x=7y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 7y+8.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Substitúe x por \frac{7y}{2}+4 na outra ecuación, -2x+y=-3.2.

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

Multiplica -2 por \frac{7y}{2}+4.

$$-7y-8+y=-3.2$$

Suma -7y a y.

$$-6y-8=-3.2$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=4.8$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=-0.8$$

Substitúe y por -0.8 en x=\frac{7}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

Multiplica \frac{7}{2} por -0.8 mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

Suma 4 a -\frac{14}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Para que 2x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

Simplifica.

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

Resta -4x+2y=-6.4 de -4x+14y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$14y-2y=-16+6.4$$

Suma 14y a -2y.

$$12y=-16+6.4$$

Suma -16 a 6.4.

$$12y=-9.6$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Substitúe y por -\frac{4}{5} en -2x+y=-3.2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

Suma \frac{4}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$