Resolver {l}{2x-6y=34}{8x-3y=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 34 } \\ { 8 x - 3 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-6y=34$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$2x=6y+34$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+34\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 6y+34.

$$x=3y+17$$

Substitúe x por 3y+17 na outra ecuación, 8x-3y=-11.

$$8\left(3y+17\right)-3y=-11$$

Multiplica 8 por 3y+17.

$$24y+136-3y=-11$$

Suma 24y a -3y.

$$21y+136=-11$$

Resta 136 en ambos lados da ecuación.

$$21y=-147$$

Divide ambos lados entre 21.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en x=3y+17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\left(-7\right)+17$$

Multiplica 3 por -7.

$$x=-21+17$$

Suma 17 a -21.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 34+\frac{1}{7}\left(-11\right)\\-\frac{4}{21}\times 34+\frac{1}{21}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Para que 2x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$8\times 2x+8\left(-6\right)y=8\times 34,2\times 8x+2\left(-3\right)y=2\left(-11\right)$$

Simplifica.

$$16x-48y=272,16x-6y=-22$$

Resta 16x-6y=-22 de 16x-48y=272 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$16x-16x-48y+6y=272+22$$

Suma 16x a -16x. 16x e -16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-48y+6y=272+22$$

Suma -48y a 6y.

$$-42y=272+22$$

Suma 272 a 22.

$$-42y=294$$

Divide ambos lados entre -42.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en 8x-3y=-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-3\left(-7\right)=-11$$

Multiplica -3 por -7.

$$8x+21=-11$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$8x=-32$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-7$$