Resolver {l}{2x-5y=4}{x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=4$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Substitúe x por \frac{5y}{2}+2 na outra ecuación, x+5y=1.

$$\frac{5}{2}y+2+5y=1$$

Suma \frac{5y}{2} a 5y.

$$\frac{15}{2}y+2=1$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{15}{2}y=-1$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{15}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{2}{15}$$

Substitúe y por -\frac{2}{15} en x=\frac{5}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{15}\right)+2$$

Multiplica \frac{5}{2} por -\frac{2}{15} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{3}+2$$

Suma 2 a -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2\times 5-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2\times 5-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\-\frac{1}{15}\times 4+\frac{2}{15}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x-5y=4,2x+2\times 5y=2$$

Simplifica.

$$2x-5y=4,2x+10y=2$$

Resta 2x+10y=2 de 2x-5y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-5y-10y=4-2$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y-10y=4-2$$

Suma -5y a -10y.

$$-15y=4-2$$

Suma 4 a -2.

$$-15y=2$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=-\frac{2}{15}$$

Substitúe y por -\frac{2}{15} en x+5y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5\left(-\frac{2}{15}\right)=1$$

Multiplica 5 por -\frac{2}{15}.

$$x-\frac{2}{3}=1$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$