Resolver {l}{2x-5y=-3}{-4x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 3 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=-3$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y-3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 5y-3.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{5y-3}{2} na outra ecuación, -4x+y=-3.

$$-4\left(\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}\right)+y=-3$$

Multiplica -4 por \frac{5y-3}{2}.

$$-10y+6+y=-3$$

Suma -10y a y.

$$-9y+6=-3$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=-9$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5-3}{2}$$

Suma -\frac{3}{2} a \frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\left(-3\right)-\frac{5}{18}\left(-3\right)\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)-\frac{1}{9}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Para que 2x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-4\times 2x-4\left(-5\right)y=-4\left(-3\right),2\left(-4\right)x+2y=2\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-8x+20y=12,-8x+2y=-6$$

Resta -8x+2y=-6 de -8x+20y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+20y-2y=12+6$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-2y=12+6$$

Suma 20y a -2y.

$$18y=12+6$$

Suma 12 a 6.

$$18y=18$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -4x+y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+1=-3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$