Resolver {l}{2x-3y-6=0}{2x+y+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 6 = 0 } \\ { 2 x + y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$2x-3y=6$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+3 na outra ecuación, 2x+y+2=0.

$$2\left(\frac{3}{2}y+3\right)+y+2=0$$

Multiplica 2 por \frac{3y}{2}+3.

$$3y+6+y+2=0$$

Suma 3y a y.

$$4y+6+2=0$$

Suma 6 a 2.

$$4y+8=0$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$4y=-8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{3}{2}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+3$$

Multiplica \frac{3}{2} por -2.

$$x=-3+3$$

Suma 3 a -3.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

Resta 2x+y+2=0 de 2x-3y-6=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-3y-y-6-2=0$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-y-6-2=0$$

Suma -3y a -y.

$$-4y-6-2=0$$

Suma -6 a -2.

$$-4y-8=0$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 2x+y+2=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-2+2=0$$

Suma -2 a 2.

$$2x=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-2$$