Resolver {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 8x en ambos lados.

$$7y+8x=-17$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=10$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+5 na outra ecuación, 8x+7y=-17.

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

Multiplica 8 por \frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

Suma 12y a 7y.

$$19y+40=-17$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$19y=-57$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{3}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

Multiplica \frac{3}{2} por -3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Suma 5 a -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 8x en ambos lados.

$$7y+8x=-17$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 8x en ambos lados.

$$7y+8x=-17$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Para que 2x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Simplifica.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

Resta 16x+14y=-34 de 16x-24y=80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Suma 16x a -16x. 16x e -16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-24y-14y=80+34$$

Suma -24y a -14y.

$$-38y=80+34$$

Suma 80 a 34.

$$-38y=114$$

Divide ambos lados entre -38.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 8x+7y=-17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

Multiplica 7 por -3.

$$8x-21=-17$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$8x=4$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$